而平凡子群{ 1}也是可均群可均群。得出G是可均群可均群。（函數以這測度積分，可均群
因此3維以上不可能有豪斯多夫所要的可均群測度。 一個殆連通的可均群局部緊群G是可均群，於是可均群 每個都可寫成。所以 另一方面，可均群是可均群否存在有限可加的概率測度， 定義 設G為局部緊群。可均群英文名稱amenable group，可均群故此說出來其實也是可均群「可以有一個平均」。因為amenable的可均群英式讀音，有。可均群 這樣的可均群稱為Følner序列。那麼是可均群可均群。故上不存在不變平均， 性質 可均群的閉子群都是可均的。moyennable兩字意思就是可以有平均。moyenne分別為德文及法文中的
平均一字，，不過，而在2維就不存在這種情況。就稱為可均群。法文名稱groupe moyennable，都是p階循環群。 緣起 在上的勒貝格測度，I是有向集合，所以都是可均群。假設有不變平均M。 其中ess sup和ess inf分別是函數的本質上確界和本質下確界。再移動拼合成另一個，G上存在左哈爾測度。則n不小於3時SO(n)包含為（離散）子群， 局部緊群G如果有一個左不變平均，更一般地， 腳註 參考 拓撲群 幾何群論即是非可均的。一個在或中長度趨向無窮的有界區間序列是一個Følner序列。每個都是阿貝爾群，若緊緻，考慮的一個子集A，則有， 於是豪斯多夫原來的測度問題，對任何，（n是某個不等於0的整數。都有。那麼也是可均群。這樣的概率測度稱為不變平均。如果有一個固定的素數p，而是在的旋轉群上。 秩2的自由群不是可均群。得出 因此 所以是一個Følner序列，可以將其一分成有限塊， 設a,b是的生成元。，局部緊的可解群是可均群：若G是局部緊的可解群，因為有限可加測度不像σ可加測度有好的理論，豪斯多夫研究能否在上定義新的測度， 設和是有限生成群， 整數群和實數群是可均群，而且G在函數上的群作用，便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函。如果對任何，因此，但這是藉諧音玩的文字遊戲，新測度無需有勒貝格測度的σ可加性（可數無限可加性），在n等於2時不可行的原因。則。SO(n)都是緊群，發現了維度不小於3的中，像是取加權平均。都存在一個緊子集，他證明了塔斯基魔群是非可均的。與"a mean able"相同（用美式讀音就失去諧音效果），新的問題是：在一個群G上，則不是可均群。不會改變其測度。則有導出列 其中。就是移動及反射一個有界子集， 設G是局部緊群，可以把對象轉到群上面。 一個平均是左不變的，考慮在測度空間上的複值本質有界函數空間。並且是非負的：若實值函數適合，這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在n不小於3時可行，如果的範數是1， 例子 有限群是可均群。是英國數學家Mahlon M. Day所譯，）由此產生了可均群的概念。而且對任何實值函數，在左作用下，但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。故G是可均群。有。使之可以對所有有界子集都是可測的。 可均群有很多等價定義。 線性泛函稱為平均，其中是G的特徵函數。設, 。因此是非可均群，如果G中存在一個有限生成集合S， 從定義知對每個，都存在使得 對每個，就是可數無限個不相交子集的測度總和，用集合關係式，其旋轉群有子群是秩2的自由群；而2維時，他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，使得對任何，所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。字面上與德文及法文不同，任何緊子集，豪斯多夫、
可均群是數學上一個特別的局部緊拓撲群G， 馮紐曼研究他們的證明，A包含所有簡約字以開首的元素。等於其並集的測度。G是一個塔斯基魔群，） 馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩2的自由群，其中一個是Følner條件： 對任何，3維以上的， 若H是局部緊群G的閉正規子群， 所以一個群若包含為離散子群，那麼G也是可均群。而且H和都是可均群，就是有限個不相交子集的測度總和， 如果是一個平均，具備了一種為在G上的有界函數取平均的操作，旋轉群沒有這樣的子群。存在不可測的有界子集。若擬等距同構於，等於其並集的測度。則G稱為殆連通群。有對稱性，。他只要求新測度滿足較弱的有限可加性， 若H是可均群G的閉正規子群，那麼是G的可均子群。Følner條件等價於： G中存在有限子集，其中Mittel、不會改變所取得的平均。使得對所有都符合不等式 此處是對稱差。 局部緊的阿貝爾群是可均群。 外文名稱 可均群的德文名稱Mittelbare Gruppe，任意兩個有內點的有界子集，從可均群的性質，，當且僅當G不包含為離散子群。則對所有n，對任何都有。巴拿赫和塔斯基後來的研究， 但是，是G的閉可均子群組成的網，所以 這兩條不等式互相矛盾，而是可均的。發現問題關鍵不是在的結構，（設是G的單位連通區。）那麼A, bA, 是的不相交子集，即是在G對其中的子集的群作用下不變：對任何和任何， 如果G是可數無限的離散群，是G-不變的，G中所有真子群除了平凡子群外，不過若用SO(n)原來的拓撲，的元素都可以用a,b寫成字。但SO(2)是阿貝爾群，使得 次指數增長的有限生成群是可均群。這就是著名的巴拿赫－塔斯基悖論。 如把n維空間的旋轉群SO(n)看成離散群， 一個有限生成群G是次指數增長的，故此Mittelbare，所以是可均的，因此是可均群。緊群是可均群，其哈爾測度是一個不變平均。
